زوايا المثلثات المشهورة بالتفاصيل، أي مثلث يحتوي على ثلاث زوايا، حيث يكون مجموع زوايا المثلثات الشهيرة 180 درجة، بغض النظر عن نوع المثلث. ستناقش الخطوط التالية حول مفهوم المثلث وشرح إجابة السؤال المطروح، ونظرية فيثاغورس وأهميتها وكيفية إثباتها.
تعريف المثلث
يُعرف المثلث بالشكل المغلق ثنائي الأبعاد وثلاثي الجوانب، ويتكون من ثلاثة أجزاء مستقيمة تتقاطع جوانبها وتشكل الزوايا والرؤوس. الزاوية الداخلية وأيضًا أطول ضلع في المثلث يتوافق مع أكبر زاوية داخلية، والمصطلحات المتعلقة بالمثلث هي
- الرأس هو زاوية المثلث، لأن لكل مثلث ثلاثة رءوس.
- القاعدة أي جانب من المثلث يشكل قاعدة.
- وسيط المثلث وهو خط يمتد من رأس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل، حيث يحتوي المثلث على ثلاثة منهم ويتقاطعون عند نقطة واحدة تسمى النقطة المركزية للمثلث.
- الارتفاع هو العمود الذي يمتد من القاعدة إلى قمة المثلث المقابل له. هناك ثلاثة ارتفاعات مختلفة وتتقاطع عند نقطة تسمى منطقة الارتفاعات أو المركز الأيمن.
زوايا المثلثات الشهيرة
المثلث هو شكل له ثلاثة جوانب ويتكون من ثلاثة أجزاء مستقيمة. يعتمد نوع المثلث على حجم الزاوية وطول ضلعها. وهي مقسمة على أساس الزوايا التي لديها والتي ستظهر على النحو التالي
- مثلث قائم الزاوية هذا المثلث له زاوية 90 درجة وزاويتان حادتان.
- المثلث المنفرج الزاوي يتكون هذا المثلث من زاويتين حادتين وزاوية منفرجة قياسها أكثر من 90 درجة.
- مثلث الزاوية الحادة يتكون هذا المثلث من ثلاث زوايا حادة، والزاوية الحادة هي زاوية قياسها أقل من 90 درجة.
أنواع المثلثات وخصائصها
تقسيم المثلثات حسب أطوال الأضلاع إلى ثلاثة أنواع، حيث يمكن تمييز الأضلاع المتساوية الطول بوضع علامة مائلة عليها، وسيوضح التالي الأنواع التالية
- المثلث المقاس مثلث ليس له جوانب متساوية الطول أو زوايا قياس متساوية.
- مثلث متساوي الأضلاع وهو مثلث له ثلاثة أضلاع متساوية وثلاث زوايا متساوية، كل منها قياسه 60 درجة.
- مثلث متساوي الساقين مثلث له ضلعان متساويان في الطول وزاويتان متساويتان في القياس، وهما زاويتا القاعدة.
خصائص المثلثات
يعتبر المثلث مضلعًا بثلاثة أضلاع وثلاث زوايا وثلاثة رؤوس. يمكن تلخيص أهم الخصائص العامة للمثلث على النحو التالي
- مجموع زوايا المثلث الثلاث يساوي 180 درجة.
- مجموع أطوال أي ضلع من أضلاع المثلث أكبر من طول الضلع الثالث.
- الفرق بين أطوال ضلعين في المثلث أقل من طول الضلع الثالث.
- يعتبر الضلع المقابل للزاوية الرئيسية في المثلث هو الضلع الأطول.
- الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين، وتُعرف باسم خاصية الزاوية الخارجية.
- تكون المثلثات متشابهة إذا كانت الزوايا المتقابلة للمثلثين متطابقة وكانت أطوال أضلاعها متناسبة.
- يمكن تحديد صيغة مساحة المثلث ومحيط المثلث على النحو التالي
- صيغة مساحة المثلث = ½ x القاعدة x الارتفاع.
- محيط المثلث = مجموع الأضلاع الثلاثة.
- يُعرف المثلث الذي تكون فيه جميع زواياه أقل من 90 درجة بالمثلث الحاد.
- يسمى المثلث الذي تزيد زاويته عن 90 درجة بمثلث منفرج.
كيفية حساب ارتفاع المثلث
يتم حساب ارتفاع المثلث إذا كانت مساحته وطول قاعدته معروفة بقانون مساحة المثلث، لجميع أنواع المثلثات، عن طريق إعادة ترتيب مساحة المثلث = (1/2 × القاعدة × الارتفاع)، مما ينتج عنه ارتفاع المثلث = (2 × منطقة) / قاعدة، حيث يمكن تطبيقها من خلال المثال. إذا كان هناك مثلث مساحته 20 سم 2 وطول قاعدته 4 سم، فيمكن حسابه على النحو التالي
- وضع صيغة ارتفاع المثلث = (2 × مساحة) / القاعدة
- عوّض بالقيم المعطاة في القانون الارتفاع = (2 × 20) / 4 = 40/4
- الارتفاع = 10 سم.
نظرية فيتاغورس
تُعرف نظرية فيثاغورس بأنها واحدة من أقدم النظريات المعروفة، حيث سميت على اسم عالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني فيثاغورس. فيما يلي شرح لنظرية فيثاغورس وأهميتها
قانون نظرية فيثاغورس
تنص نظرية فيثاغورس على ما يلي مجموع مربعات أطوال ضلعي اليمين، وهما أقصر ضلعين في مثلث قائم الزاوية، يساوي مربع طول الوتر، وهو يعتبر أطول ضلع في المثلث. (A، B) هما ضلعي المثلث القائم الزاوية AB C، و (C) هو وتر المثلث القائم الزاوية AB C، حيث يعتبر الضلع الأطول فيه، ومن الجدير بالذكر أن المعكوس من النظرية صحيحة، لأن المثلث الذي تنطبق عليه نظرية فيثاغورس هو A² + B² = C²، وهو بالضرورة مثلث قائم الزاوية، وهناك العديد من التطبيقات لنظرية فيثاغورس، وهي كالتالي
- وضح ما إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا.
- أوجد طول القطر في المربع أو المستطيل.
- أوجد طول أي ضلع من أضلاع المثلث إذا كان طول الضلعين الآخرين للمثلث قائم الزاوية معروفًا.
أهمية نظرية فيثاغورس
تعتبر نظرية فيثاغورس من النظريات المهمة في الرياضيات، حيث لها استخدامات عديدة. سيتم شرح أهمية النظرية على النحو التالي
- وضح شكل ونوع المثلث. عندما يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعات الضلعين الآخرين، يكون مثلث قائم الزاوية، وعندما يكون مربع الوتر أطول من مربع الضلعين الآخرين، يكون المثلث منفرجًا، وعندما يكون مربع الوتر أقل من مربع الضلعين الآخرين، يطلق عليه مثلث حاد الزاوية.
- تساعد النظرية في حساب أطوال الأضلاع المخفية، ليس فقط في المثلثات، ولكن أيضًا في المربعات والمستطيلات.
- تساعد هذه النظرية عمال البناء في الحفاظ على قياسات صحيحة للزوايا في تشييد المنازل والمباني.
صورة لنظرية حساب المثلثات فيثاغورس
تُعرف باسم نظرية فيثاغورس، وقد سميت على اسم العالم فيثاغورس، عالم من اليونان القديمة، الذي أوضح أن عكس نظرية فيثاغورس هو أنه إذا كان هناك مربع من جانب واحد في مثلث يساوي مجموع مربعات الضلعان الآخران في المثلث، فإن الزاوية المقابلة للضلع الكبير تكون قائمة، أي تساوي 90 درجة.
أمثلة على مثلثات فيثاغورس الشهيرة
هناك بعض الأمثلة التي توضح كيفية حساب طول الضلع أو الوتر في نظرية فيثاغورس، بالإضافة إلى التحقق مما إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا. وهنا بعض الأمثلة
- المثال الأول مثلث قائم الزاوية يبلغ طول ضلعه الأول 12 سم وطول ضلعه الثاني 5 سم. ما هو طول الوتر
- عوض بقيمة أطوال الأضلاع في معادلة فيثاغورس على النحو التالي (أ² + ب² = ج²).
- ينتج عن (12) ² + (5) ² = c²، حيث c² = 169.
- ينتج عن حساب الجذر التربيعي للطرفين أن c = 13 وطول الوتر = 13 cm.
- المثال الثاني توضيح قطر مربع مساحته 1 سم وطول الوتر
- ينقسم قطر المربع إلى مثلثين متطابقين.
- وبالتالي، فإن أطوال أضلاع المربع = أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية، وهي تساوي 1 سم.
- عوّض بقيمة أطوال الأضلاع في معادلة فيثاغورس لتحصل على أ² + ب² = ج²، ونحصل على c² = 2.
- ينتج عن حساب الجذر التربيعي للطرفين أن c = 1.414.
- طول الوتر = طول القطر المربع = 1.414 سم.
حساب زوايا المثلثات الشهيرة
إذا كانت قيمة زاويتين في مثلث معروفة وكان قياس الزاوية الثالثة غير معروف، فيمكن حساب قياسها بطرح مجموع الزاويتين من 180 درجة، كمجموع قياس الزوايا الداخلية لـ مثلث = 180، وفيما يلي الطرق التي تساهم في إيجاد قيمة زوايا مثلث بمختلف أنواعه
- حساب زوايا مثلث قائم الزاوية يمكن معرفة المثلث القائم الزاوية عندما تكون إحدى زواياه 90 درجة. يمكن تفسير المعادلة على النحو التالي
- س + ص + 90 = 180.
- س + ص = 90، لأن (س، ص) زوايا مثلث قائم الزاوية.
- حساب زوايا المثلث متساوي الساقين يسمى المثلث متساوي الساقين بهذا الاسم لأن زوايا القاعدة متساوية في القياس، لذلك يمكن تحديد مجموع زوايا هذا المثلث على النحو التالي
- 2 س س + ص = 180، حيث س هو قياس زوايا القاعدة، وص هو قياس زاوية الرأس.
- حساب زوايا مثلث متساوي الأضلاع يمكن تفسير المثلث المتساوي الأضلاع على أنه مثلث متساوي الأضلاع بزوايا، لأن قياس كل زاوية من زواياه يساوي دائمًا 60 درجة، وبالتالي
- C + C + S = 180. اقبل 3٪ C = 180.
- اقسم كلا الطرفين على الرقم 3.
- اتضح أن قيمة x = 60 درجة.
كيف يتم قياس زوايا المثلثات الشهيرة
يمكن قياس زوايا المثلثات الشائعة بأدوات هندسية مثل استخدام المنقلة، أو باستخدام أداة تحديد الزاوية الرقمية، ولكن هذا الباحث غير مناسب كأداة رسم فنية، لأن المحور لن يكون مسطحًا على الورق على عكس المنقلة، في بالإضافة إلى أنها ماكينة من الفولاذ المقاوم للصدأ قد تكون ماكينة شارب وغير مناسبة لاستخدام الأطفال.
الزوايا الخارجية للمثلث
تُعرَّف الزاوية الخارجية بأنها نتيجة الشكل الهندسي المسطح كزاوية بين أحد جوانبها وهي امتداد لضلع آخر، لأن مجموع الزوايا الخارجية الثلاث لأي مثلث يساوي 360 درجة والزوايا خارج المثلث يمكن أيضًا الحصول عليها عن طريق رسم شعاع أو خط مستقيم يمتد من أحد الجوانب، وبهذه الطريقة تكون الزاوية الخارجية هي الزاوية بين هذا الامتداد وجانب المثلث المجاور له.
حساب أضلاع مثلث قائم الزاوية
يعتبر المثلث القائم الزاوية أحد أهم أنواع المثلثات في علم المثلثات، حيث يتكون المثلث القائم الزاوية من ثلاثة جوانب وزاوية قائمة واحدة، والزاوية اليمنى للقياس 90 يُرمز لها بمربع صغير في الزاوية، بينما يُشار إلى إحدى الزاويتين الأخيرتين بالرمز x، حيث أن الضلعين الآخرين متعامدين مع بعضهما البعض، ويطلق على كل منهما اسم ضلع مثلث قائم الزاوية أو الجانب الأيمن. يمكن حساب طول أضلاع المثلث قائم الزاوية باستخدام نظرية فيثاغورس. تصنف الأضلاع الثلاثة للمثلث على النحو التالي
- الضلع المجاور وهو الضلع المجاور للزاوية x أو القريب منها.
- الضلع المقابل هو الضلع المقابل للزاوية x.
- الوتر وهو أطول ضلع في المثلث، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة.
المتطابقات الأساسية المثلثية
هناك أهم النسب المثلثية أو وظائف المثلثات القائمة الزاوية في علم المثلثات
- الجيب حيث يرمز له (S) وقانونه في مثلث قائم الزاوية هو Jas = الضلع المقابل للزاوية x ÷ وتر المثلث.
- جيب التمام يرمز له بـ (cos)، وقانونه في مثلث قائم الزاوية هو cos x = الضلع المجاور للزاوية x ÷ وتر المثلث.
- الظل يُرمز إليه بالرمز (za)، وقانونه في المثلث القائم الزاوية هو tan x = الضلع المقابل للزاوية x ÷ الضلع المجاور للزاوية، ويمكن اختصاره على النحو التالي x = sin (x) / cos (x).
- القاطع يُرمز إليه بـ (Q)، لكن قانونه في المثلث القائم الزاوية هو sec x = وتر المثلث ÷ الضلع المجاور للزاوية x = 1 ÷ cos x.
وهنا توصلنا إلى خاتمة مقالتنا التي أثارت التساؤل عن زوايا المثلثات المشهورة، حيث أجبنا على هذا السؤال، حيث تم شرح مفهوم المثلث وأبرز خصائصه العامة، ونظرية فيثاغورس، الأهمية والنص وبعض الأمثلة عليه، وكذلك توضيح جوانب المثلث القائم الزاوية.